Лабораторная работа 4 · Вариант 3

Склады и магазины

От математической модели до оптимального плана. Таблицы оформлены по той же схеме, что в расчетной книге Максима; данные — нашего варианта.

Базисная переменная · как в пособии

Смородинский С. С., Батин Н. В., издание 2010 года, §5.2, стр. 61.

«Переменные, принявшие ненулевые значения, называются базисными, остальные (нулевые) – небазисными».

Сразу следующее примечание уточняет:

«Иногда некоторые из базисных переменных также принимают нулевые значения (см. подраздел 5.5). Однако количество базисных переменных всегда должно быть равно M+N–1».

В §2.3.1 (стр. 17) небазисные переменные полагаются равными нулю, а остальные определяются из системы ограничений. Поэтому признак базиса в таблице — включение переменной в выбранный базис, а не просто ненулевое число.

В этом плане отмечено 6 базисных клеток; для полного базиса требуется 3 + 4 − 1 = 6. Во время построения план еще не полный.

Потенциалы, псевдостоимость, оценка · в чем разница?

В §5.3 (стр. 62) потенциалы вводятся как платежи поставщиков и потребителей. Это вспомогательные величины для проверки оптимальности, а не новые перевозки. Один платеж задают произвольно: здесь U₁ = 0.

U_i+V_j=C_{ij}\quad \text{в базисных клетках}

По известному платежу и тарифу определяем соседний: сначала только связанные базисом значения. Для небазисной клетки сумма платежей — псевдостоимость; разность с тарифом — оценка.

\bar C_{ij}=U_i+V_j,\quad D_{ij}=C_{ij}-\bar C_{ij}

Отрицательная оценка указывает направление снижения затрат на единицу сдвига. Если все оценки неотрицательны — план оптимален. Нулевой сдвиг при вырожденности меняет базис без снижения затрат.

Как называются работа и методы?

Лабораторная работа №4: «Постановка и решение транспортных оптимизационных задач линейного программирования» — точное название из задания, стр. 1.

Метод минимального элемента строит допустимый план. Метод потенциалов проверяет его и ищет оптимальный. В пособии 2010 года это §5.2 и §5.3; вырожденность — §5.5. В задании даны номера §4.2, §4.3 и §4.5: нумерация изданий различается.

Опорный план — допустимый план с выбранным базисом из M+N−1 независимых переменных. Оптимальный план — допустимый план с наименьшими суммарными затратами. Назначить все перевозки еще не означает доказать оптимальность.

Проверь, что запомнил

Не открывая ответ, объясни: почему ноль бывает базисным? Чем тариф отличается от перевозки? По каким клеткам вычисляют потенциалы? Что означает отрицательная оценка? Почему при θ = 0 стоимость не меняется?

Сверить объяснение

Базис выбирают по независимым ограничениям; его переменная может оказаться нулевой. Тариф задан, перевозка ищется. Потенциалы связываются по базисным клеткам. Отрицательная оценка дает направление улучшения, а θ — допустимый объем сдвига: при θ = 0 объемы и стоимость прежние.

1. Математическая модель

Три склада располагают 40, 30 и 30 тыс. единиц товара. Четырем магазинам нужно 20, 25, 30 и 25 тыс. единиц. $X_{ij}$ — объем поставки со склада i в магазин j, измеренный в тысячах единиц. $C_{ij}$ — стоимость перевозки одной тысячи единиц товара в денежных единицах. Общий запас и спрос равны 100 тыс. единиц: модель закрытая.

E = \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N} C_{ij}X_{ij} \to \min, \qquad X_{ij}\ge 0

\sum_{j=1}^{N}X_{ij}=A_i, \quad i=1,\ldots,M; \qquad \sum_{i=1}^{M}X_{ij}=B_j, \quad j=1,\ldots,N

Уравнения именно нашего варианта

$X_{11}$ + $X_{12}$ + $X_{13}$ + $X_{14}$ =40; $X_{21}$ + $X_{22}$ + $X_{23}$ + $X_{24}$ =30; $X_{31}$ + $X_{32}$ + $X_{33}$ + $X_{34}$ =30.

$X_{11}$ + $X_{21}$ + $X_{31}$ =20; $X_{12}$ + $X_{22}$ + $X_{32}$ =25; $X_{13}$ + $X_{23}$ + $X_{33}$ =30; $X_{14}$ + $X_{24}$ + $X_{34}$ =25.

E=4 $X_{11}$ +9 $X_{12}$ +2 $X_{13}$ +7 $X_{14}$ +6 $X_{21}$ +0 $X_{22}$ +3 $X_{23}$ + $X_{24}$ +5 $X_{31}$ +4 $X_{32}$ +2 $X_{33}$ +6 $X_{34}$ → min.

2. Исходная задача: 275 → 255 → 245

Метод минимального элемента дает начальный план с шестью базисными клетками. Два сдвига снижают затраты до 245. Среди равных тарифов приложение выбирает наибольшую возможную поставку, затем первую клетку по индексам. Это соглашение для воспроизводимости; методичка не задает единственного выбора при равенстве.

Та же запись, что в расчетной книге: каждая таблица — отдельное состояние. В базисной клетке показаны тариф и перевозка; в свободной после расчета потенциалов появляются псевдостоимость и оценка.

Таблица 1

Исходные условия задачи

E = 0

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i
Склад 1i = 1	4	9	2	7	40
Склад 2i = 2	6	0	3	1	30
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
B_j	20	25	30	25

Заданы запасы поставщиков [40, 30, 30] и потребности потребителей [20, 25, 30, 25].

Таблица 2

Проверка баланса

E = 0

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i
Склад 1i = 1	4	9	2	7	40
Склад 2i = 2	6	0	3	1	30
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
B_j	20	25	30	25

Суммарные запасы поставщиков в точности равны суммарному спросу потребителей (100 ед.). Добавление фиктивных объектов не требуется.

\sum_{i=1}^{M} A_i = \sum_{j=1}^{N} B_j = 100

Таблица 3

Назначение поставки

E = 0

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1	4	9	2	7	40
Склад 2i = 2	6	025	3	1	5
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
Остаток B_j	20	0	30	25

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (30) и спроса (25):

X_{2,2} = 25

X_{2,2} = \min(a_{2}, b_{2}) = 25

Таблица 4

Назначение поставки

E = 5

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2Спрос закрыт ✓	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1	4	9	2	7	40
Склад 2i = 2	6	025	3	15	0
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
Остаток B_j	20	0	30	20

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (5) и спроса (25):

X_{2,4} = 5

X_{2,4} = \min(a_{2}, b_{4}) = 5

Таблица 5

Назначение поставки

E = 65

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2Спрос закрыт ✓	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1	4	9	230	7	10
Склад 2i = 2Запас исчерпан ✓	6	025	3	15	0
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
Остаток B_j	20	0	0	20

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (40) и спроса (30):

X_{1,3} = 30

X_{1,3} = \min(a_{1}, b_{3}) = 30

Таблица 6

Назначение поставки

E = 105

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2Спрос закрыт ✓	Магазин 3j = 3Спрос закрыт ✓	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1	410	9	230	7	0
Склад 2i = 2Запас исчерпан ✓	6	025	3	15	0
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
Остаток B_j	10	0	0	20

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (10) и спроса (20):

X_{1,1} = 10

X_{1,1} = \min(a_{1}, b_{1}) = 10

Таблица 7

Назначение поставки

E = 155

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2Спрос закрыт ✓	Магазин 3j = 3Спрос закрыт ✓	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1Запас исчерпан ✓	410	9	230	7	0
Склад 2i = 2Запас исчерпан ✓	6	025	3	15	0
Склад 3i = 3	510	4	2	6	20
Остаток B_j	0	0	0	20

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (30) и спроса (10):

X_{3,1} = 10

X_{3,1} = \min(a_{3}, b_{1}) = 10

Таблица 8

Назначение поставки

E = 275

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1Спрос закрыт ✓	Магазин 2j = 2Спрос закрыт ✓	Магазин 3j = 3Спрос закрыт ✓	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1Запас исчерпан ✓	410	9	230	7	0
Склад 2i = 2Запас исчерпан ✓	6	025	3	15	0
Склад 3i = 3	510	4	2	620	0
Остаток B_j	0	0	0	0

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (20) и спроса (20):

X_{3,4} = 20

X_{3,4} = \min(a_{3}, b_{4}) = 20

Таблица 9

Начальный опорный план готов

E = 275

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i
Склад 1i = 1	410	9	230	7	40
Склад 2i = 2	6	025	3	15	30
Склад 3i = 3	510	4	2	620	30
B_j	20	25	30	25

Методом наименьшей стоимости сформирован допустимый опорный план. Количество базисных клеток: 6 (требуется

M + N - 1 = 6

E = \sum_{i=1}^{M} \sum_{j=1}^{N} C_{ij} X_{ij} = 275

Начальный допустимый план еще не гарантирует минимум затрат. Следующий этап — проверка свободных клеток методом потенциалов.

Таблица 10 · Итерация 1

Итерация 1: Контур перераспределения

E = 275

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i	U_i
Склад 1i = 1	410	495	230	572	40	U₁ = 0
Склад 2i = 2	066	025 -θ	-235	15 +θ	30	U₂ = -4
Склад 3i = 3	510	540 +θ-1	32-1	620 -θ	30	U₃ = 1
B_j	20	25	30	25
V_j	V₁ = 4	V₂ = 4	V₃ = 2	V₄ = 5

Построен замкнутый цикл с переходами по строкам и столбцам и чередованием знаков

(+)

(-)

. Величина сдвига

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 20

равна минимальной поставке среди вершин цикла со знаком

(-)

. Из базиса выбывает клетка (3, 4).

Расчет потенциалов и оценок по клеткам

Принимаем U1 = 0. В базисе Ui + Vj = Cij:

0 + V_{1} = 4 \implies V_{1} = 4

0 + V_{3} = 2 \implies V_{3} = 2

U_{3} + 4 = 5 \implies U_{3} = 1

1 + V_{4} = 6 \implies V_{4} = 5

U_{2} + 5 = 1 \implies U_{2} = -4

(-4) + V_{2} = 0 \implies V_{2} = 4

Для каждой свободной клетки:

D_{1,2} = 9 - (0 + 4) = 5

D_{1,4} = 7 - (0 + 5) = 2

D_{2,1} = 6 - ((-4) + 4) = 6

D_{2,3} = 3 - ((-4) + 2) = 5

D_{3,2} = 4 - (1 + 4) = -1

D_{3,3} = 2 - (1 + 2) = -1

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 20

X_3,2 (+θ) → X_3,4 (-θ) → X_2,4 (+θ) → X_2,2 (-θ) → начало

θ = 20. Из базиса выходит клетка (3, 4). В плюсах прибавляем θ, в минусах вычитаем θ. Баланс каждой строки и столбца сохраняется.

Таблица 11 · Итерация 2

Итерация 2: Контур перераспределения

E = 255

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i	U_i
Склад 1i = 1	410 +θ	396	230 -θ	473	40	U₁ = 0
Склад 2i = 2	165	05	-134	125	30	U₂ = -3
Склад 3i = 3	510 -θ	420	320 +θ-1	561	30	U₃ = 1
B_j	20	25	30	25
V_j	V₁ = 4	V₂ = 3	V₃ = 2	V₄ = 4

Построен замкнутый цикл с переходами по строкам и столбцам и чередованием знаков

(+)

(-)

. Величина сдвига

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 10

равна минимальной поставке среди вершин цикла со знаком

(-)

. Из базиса выбывает клетка (3, 1).

Расчет потенциалов и оценок по клеткам

Принимаем U1 = 0. В базисе Ui + Vj = Cij:

0 + V_{1} = 4 \implies V_{1} = 4

0 + V_{3} = 2 \implies V_{3} = 2

U_{3} + 4 = 5 \implies U_{3} = 1

1 + V_{2} = 4 \implies V_{2} = 3

U_{2} + 3 = 0 \implies U_{2} = -3

(-3) + V_{4} = 1 \implies V_{4} = 4

Для каждой свободной клетки:

D_{1,2} = 9 - (0 + 3) = 6

D_{1,4} = 7 - (0 + 4) = 3

D_{2,1} = 6 - ((-3) + 4) = 5

D_{2,3} = 3 - ((-3) + 2) = 4

D_{3,3} = 2 - (1 + 2) = -1

D_{3,4} = 6 - (1 + 4) = 1

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 10

X_3,3 (+θ) → X_3,1 (-θ) → X_1,1 (+θ) → X_1,3 (-θ) → начало

θ = 10. Из базиса выходит клетка (3, 1). В плюсах прибавляем θ, в минусах вычитаем θ. Баланс каждой строки и столбца сохраняется.

Таблица 12 · Итерация 3

Оптимальное решение найдено

E = 245

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i	U_i
Склад 1i = 1	420	495	220	572	40	U₁ = 0
Склад 2i = 2	066	05	-235	125	30	U₂ = -4
Склад 3i = 3	451	420	210	561	30	U₃ = 0
B_j	20	25	30	25
V_j	V₁ = 4	V₂ = 4	V₃ = 2	V₄ = 5

План перевозок оптимален: для всех свободных клеток оценки неотрицательны (

D_{ij} \ge 0

E^* = 245

ден. ед.

Расчет потенциалов и оценок по клеткам

Принимаем U1 = 0. В базисе Ui + Vj = Cij:

0 + V_{1} = 4 \implies V_{1} = 4

0 + V_{3} = 2 \implies V_{3} = 2

U_{3} + 2 = 2 \implies U_{3} = 0

0 + V_{2} = 4 \implies V_{2} = 4

U_{2} + 4 = 0 \implies U_{2} = -4

(-4) + V_{4} = 1 \implies V_{4} = 5

Для каждой свободной клетки:

D_{1,2} = 9 - (0 + 4) = 5

D_{1,4} = 7 - (0 + 5) = 2

D_{2,1} = 6 - ((-4) + 4) = 6

D_{2,3} = 3 - ((-4) + 2) = 5

D_{3,1} = 5 - (0 + 4) = 1

D_{3,4} = 6 - (0 + 5) = 1

E^* = \min \sum_{i=1}^{M} \sum_{j=1}^{N} C_{ij} X_{ij} = 245

3. Измененные условия: на складе 2 осталось 20

Общий запас 90 меньше спроса 100. Вводим фиктивный склад с запасом 10 и нулевыми тарифами. Затем полностью повторяем оба этапа решения. Стоимость проходит 270 → 250 → 250 → 240 → 235. Повторение 250 связано со сменой базиса при θ = 0.

Таблица 1

Исходные условия задачи

E = 0

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i
Склад 1i = 1	4	9	2	7	40
Склад 2i = 2	6	0	3	1	20
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
B_j	20	25	30	25

Заданы запасы поставщиков [40, 20, 30] и потребности потребителей [20, 25, 30, 25].

Таблица 2

Ввод фиктивного склада (дефицит товара)

E = 0

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i
Склад 1i = 1	4	9	2	7	40
Склад 2i = 2	6	0	3	1	20
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
Склад 4 (фикт.)i = 4	0	0	0	0	10
B_j	20	25	30	25

Модель открытая с дефицитом товара: реальный суммарный запас на реальных складах упал до 90 ед., а магазины по-прежнему требуют привезти им 100 ед. Возникла нехватка 10 ед. товара. Математический алгоритм транспортной задачи требует строгого баланса, поэтому применяется классический логистический трюк: • Создание фиктивного склада (Склад 4 (фикт.)): придумываем виртуальный несуществующий склад и «выделяем» ему недостающие 10 ед. товара. Теперь математика довольна (100 = 100). • Нулевые тарифы (

C = 0

): стоимость доставки с призрачного склада во все пункты равна строго нулю, так как мы не должны платить за перевозку воздуха. • Распределение дефицита: программа-решатель анализирует тарифы и распределяет реальный груз так, чтобы минимизировать финансовые потери. Поставка с фиктивного склада укажет, какой именно магазин понесет убытки от нехватки.

A_{\text{фик}} = \sum_{j=1}^{N} B_j - \sum_{i=1}^{M} A_i = 10, \quad C_{\text{фик}, j} = 0

Таблица 3

Назначение поставки

E = 0

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1	4	9	2	7	40
Склад 2i = 2	6	020	3	1	0
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
Склад 4 (фикт.)i = 4	0	0	0	0	10
Остаток B_j	20	5	30	25

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (20) и спроса (25):

X_{2,2} = 20

X_{2,2} = \min(a_{2}, b_{2}) = 20

Таблица 4

Назначение поставки

E = 0

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1	4	9	2	7	40
Склад 2i = 2Запас исчерпан ✓	6	020	3	1	0
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
Склад 4 (фикт.)i = 4	010	0	0	0	0
Остаток B_j	10	5	30	25

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (10) и спроса (20):

X_{4,1} = 10

X_{4,1} = \min(a_{4}, b_{1}) = 10

Таблица 5

Назначение поставки

E = 60

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1	4	9	230	7	10
Склад 2i = 2Запас исчерпан ✓	6	020	3	1	0
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
Склад 4 (фикт.)i = 4Запас исчерпан ✓	010	0	0	0	0
Остаток B_j	10	5	0	25

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (40) и спроса (30):

X_{1,3} = 30

X_{1,3} = \min(a_{1}, b_{3}) = 30

Таблица 6

Назначение поставки

E = 100

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3Спрос закрыт ✓	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1	410	9	230	7	0
Склад 2i = 2Запас исчерпан ✓	6	020	3	1	0
Склад 3i = 3	5	4	2	6	30
Склад 4 (фикт.)i = 4Запас исчерпан ✓	010	0	0	0	0
Остаток B_j	0	5	0	25

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (10) и спроса (10):

X_{1,1} = 10

X_{1,1} = \min(a_{1}, b_{1}) = 10

Таблица 7

Назначение поставки

E = 120

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3Спрос закрыт ✓	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1Запас исчерпан ✓	410	9	230	7	0
Склад 2i = 2Запас исчерпан ✓	6	020	3	1	0
Склад 3i = 3	5	45	2	6	25
Склад 4 (фикт.)i = 4Запас исчерпан ✓	010	0	0	0	0
Остаток B_j	0	0	0	25

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (30) и спроса (5):

X_{3,2} = 5

X_{3,2} = \min(a_{3}, b_{2}) = 5

Таблица 8

Назначение поставки

E = 120

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2Спрос закрыт ✓	Магазин 3j = 3Спрос закрыт ✓	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1Запас исчерпан ✓	410	9	230	7	0
Склад 2i = 2Запас исчерпан ✓	6	020	3	1	0
Склад 3i = 3	50	45	2	6	25
Склад 4 (фикт.)i = 4Запас исчерпан ✓	010	0	0	0	0
Остаток B_j	0	0	0	25

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (25) и спроса (0):

X_{3,1} = 0

X_{3,1} = \min(a_{3}, b_{1}) = 0

Таблица 9

Назначение поставки

E = 270

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1Спрос закрыт ✓	Магазин 2j = 2Спрос закрыт ✓	Магазин 3j = 3Спрос закрыт ✓	Магазин 4j = 4	Остаток A_i
Склад 1i = 1Запас исчерпан ✓	410	9	230	7	0
Склад 2i = 2Запас исчерпан ✓	6	020	3	1	0
Склад 3i = 3	50	45	2	625	0
Склад 4 (фикт.)i = 4Запас исчерпан ✓	010	0	0	0	0
Остаток B_j	0	0	0	0

Объем поставки определяется как минимум из остатка запаса (25) и спроса (25):

X_{3,4} = 25

X_{3,4} = \min(a_{3}, b_{4}) = 25

Таблица 10

Начальный опорный план готов

E = 270

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i
Склад 1i = 1	410	9	230	7	40
Склад 2i = 2	6	020	3	1	20
Склад 3i = 3	50	45	2	625	30
Склад 4 (фикт.)i = 4	010	0	0	0	10
B_j	20	25	30	25

Методом наименьшей стоимости сформирован допустимый опорный план. Количество базисных клеток: 7 (требуется

M + N - 1 = 7

E = \sum_{i=1}^{M} \sum_{j=1}^{N} C_{ij} X_{ij} = 270

Таблица 11 · Итерация 1

Итерация 1: Контур перераспределения

E = 270

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i	U_i
Склад 1i = 1	410	396	230	572	40	U₁ = 0
Склад 2i = 2	165	020 -θ	-134	210 +θ-1	20	U₂ = -3
Склад 3i = 3	50	45 +θ	32-1	625 -θ	30	U₃ = 1
Склад 4 (фикт.)i = 4	010	-101	-202	10-1	10	U₄ = -4
B_j	20	25	30	25
V_j	V₁ = 4	V₂ = 3	V₃ = 2	V₄ = 5

Построен замкнутый цикл с переходами по строкам и столбцам и чередованием знаков

(+)

(-)

. Величина сдвига

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 20

равна минимальной поставке среди вершин цикла со знаком

(-)

. Из базиса выбывает клетка (2, 2).

Расчет потенциалов и оценок по клеткам

Принимаем U1 = 0. В базисе Ui + Vj = Cij:

0 + V_{1} = 4 \implies V_{1} = 4

0 + V_{3} = 2 \implies V_{3} = 2

U_{3} + 4 = 5 \implies U_{3} = 1

1 + V_{2} = 4 \implies V_{2} = 3

1 + V_{4} = 6 \implies V_{4} = 5

U_{4} + 4 = 0 \implies U_{4} = -4

U_{2} + 3 = 0 \implies U_{2} = -3

Для каждой свободной клетки:

D_{1,2} = 9 - (0 + 3) = 6

D_{1,4} = 7 - (0 + 5) = 2

D_{2,1} = 6 - ((-3) + 4) = 5

D_{2,3} = 3 - ((-3) + 2) = 4

D_{2,4} = 1 - ((-3) + 5) = -1

D_{3,3} = 2 - (1 + 2) = -1

D_{4,2} = 0 - ((-4) + 3) = 1

D_{4,3} = 0 - ((-4) + 2) = 2

D_{4,4} = 0 - ((-4) + 5) = -1

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 20

X_2,4 (+θ) → X_2,2 (-θ) → X_3,2 (+θ) → X_3,4 (-θ) → начало

θ = 20. Из базиса выходит клетка (2, 2). В плюсах прибавляем θ, в минусах вычитаем θ. Баланс каждой строки и столбца сохраняется.

Таблица 12 · Итерация 2

Итерация 2: Контур перераспределения

E = 250

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i	U_i
Склад 1i = 1	410 +θ	396	230 -θ	572	40	U₁ = 0
Склад 2i = 2	066	-101	-235	120	20	U₂ = -4
Склад 3i = 3	50 -θ	425	320 +θ-1	65	30	U₃ = 1
Склад 4 (фикт.)i = 4	010	-101	-202	10-1	10	U₄ = -4
B_j	20	25	30	25
V_j	V₁ = 4	V₂ = 3	V₃ = 2	V₄ = 5

Построен замкнутый цикл с переходами по строкам и столбцам и чередованием знаков

(+)

(-)

. Величина сдвига

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 0

равна минимальной поставке среди вершин цикла со знаком

(-)

. Из базиса выбывает клетка (3, 1).

Расчет потенциалов и оценок по клеткам

Принимаем U1 = 0. В базисе Ui + Vj = Cij:

0 + V_{1} = 4 \implies V_{1} = 4

0 + V_{3} = 2 \implies V_{3} = 2

U_{3} + 4 = 5 \implies U_{3} = 1

1 + V_{2} = 4 \implies V_{2} = 3

1 + V_{4} = 6 \implies V_{4} = 5

U_{4} + 4 = 0 \implies U_{4} = -4

U_{2} + 5 = 1 \implies U_{2} = -4

Для каждой свободной клетки:

D_{1,2} = 9 - (0 + 3) = 6

D_{1,4} = 7 - (0 + 5) = 2

D_{2,1} = 6 - ((-4) + 4) = 6

D_{2,2} = 0 - ((-4) + 3) = 1

D_{2,3} = 3 - ((-4) + 2) = 5

D_{3,3} = 2 - (1 + 2) = -1

D_{4,2} = 0 - ((-4) + 3) = 1

D_{4,3} = 0 - ((-4) + 2) = 2

D_{4,4} = 0 - ((-4) + 5) = -1

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 0

X_3,3 (+θ) → X_3,1 (-θ) → X_1,1 (+θ) → X_1,3 (-θ) → начало

θ = 0. Из базиса выходит клетка (3, 1). Это вырожденный сдвиг: перевозки и стоимость не меняются, но меняется базис. Затем заново определяем потенциалы.

Таблица 13 · Итерация 3

Итерация 3: Контур перераспределения

E = 250

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i	U_i
Склад 1i = 1	410 +θ	495	230 -θ	671	40	U₁ = 0
Склад 2i = 2	-167	-101	-336	120	20	U₂ = -5
Склад 3i = 3	451	425	20 +θ	65 -θ	30	U₃ = 0
Склад 4 (фикт.)i = 4	010 -θ	000	-202	200 +θ-2	10	U₄ = -4
B_j	20	25	30	25
V_j	V₁ = 4	V₂ = 4	V₃ = 2	V₄ = 6

Построен замкнутый цикл с переходами по строкам и столбцам и чередованием знаков

(+)

(-)

. Величина сдвига

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 5

равна минимальной поставке среди вершин цикла со знаком

(-)

. Из базиса выбывает клетка (3, 4).

Расчет потенциалов и оценок по клеткам

Принимаем U1 = 0. В базисе Ui + Vj = Cij:

0 + V_{1} = 4 \implies V_{1} = 4

0 + V_{3} = 2 \implies V_{3} = 2

U_{3} + 2 = 2 \implies U_{3} = 0

0 + V_{4} = 6 \implies V_{4} = 6

U_{4} + 4 = 0 \implies U_{4} = -4

U_{2} + 6 = 1 \implies U_{2} = -5

0 + V_{2} = 4 \implies V_{2} = 4

Для каждой свободной клетки:

D_{1,2} = 9 - (0 + 4) = 5

D_{1,4} = 7 - (0 + 6) = 1

D_{2,1} = 6 - ((-5) + 4) = 7

D_{2,2} = 0 - ((-5) + 4) = 1

D_{2,3} = 3 - ((-5) + 2) = 6

D_{3,1} = 5 - (0 + 4) = 1

D_{4,2} = 0 - ((-4) + 4) = 0

D_{4,3} = 0 - ((-4) + 2) = 2

D_{4,4} = 0 - ((-4) + 6) = -2

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 5

X_4,4 (+θ) → X_4,1 (-θ) → X_1,1 (+θ) → X_1,3 (-θ) → X_3,3 (+θ) → X_3,4 (-θ) → начало

θ = 5. Из базиса выходит клетка (3, 4). В плюсах прибавляем θ, в минусах вычитаем θ. Баланс каждой строки и столбца сохраняется.

Таблица 14 · Итерация 4

Итерация 4: Контур перераспределения

E = 240

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i	U_i
Склад 1i = 1	415 +θ	495	225 -θ	473	40	U₁ = 0
Склад 2i = 2	165	100 +θ-1	-134	120 -θ	20	U₂ = -3
Склад 3i = 3	451	425 -θ	25 +θ	462	30	U₃ = 0
Склад 4 (фикт.)i = 4	05 -θ	000	-202	05 +θ	10	U₄ = -4
B_j	20	25	30	25
V_j	V₁ = 4	V₂ = 4	V₃ = 2	V₄ = 4

Построен замкнутый цикл с переходами по строкам и столбцам и чередованием знаков

(+)

(-)

. Величина сдвига

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 5

равна минимальной поставке среди вершин цикла со знаком

(-)

. Из базиса выбывает клетка (4, 1).

Расчет потенциалов и оценок по клеткам

Принимаем U1 = 0. В базисе Ui + Vj = Cij:

0 + V_{1} = 4 \implies V_{1} = 4

0 + V_{3} = 2 \implies V_{3} = 2

U_{3} + 2 = 2 \implies U_{3} = 0

U_{4} + 4 = 0 \implies U_{4} = -4

(-4) + V_{4} = 0 \implies V_{4} = 4

U_{2} + 4 = 1 \implies U_{2} = -3

0 + V_{2} = 4 \implies V_{2} = 4

Для каждой свободной клетки:

D_{1,2} = 9 - (0 + 4) = 5

D_{1,4} = 7 - (0 + 4) = 3

D_{2,1} = 6 - ((-3) + 4) = 5

D_{2,2} = 0 - ((-3) + 4) = -1

D_{2,3} = 3 - ((-3) + 2) = 4

D_{3,1} = 5 - (0 + 4) = 1

D_{3,4} = 6 - (0 + 4) = 2

D_{4,2} = 0 - ((-4) + 4) = 0

D_{4,3} = 0 - ((-4) + 2) = 2

\theta = \min_{(-)} X_{ij} = 5

X_2,2 (+θ) → X_2,4 (-θ) → X_4,4 (+θ) → X_4,1 (-θ) → X_1,1 (+θ) → X_1,3 (-θ) → X_3,3 (+θ) → X_3,2 (-θ) → начало

θ = 5. Из базиса выходит клетка (4, 1). В плюсах прибавляем θ, в минусах вычитаем θ. Баланс каждой строки и столбца сохраняется.

Таблица 15 · Итерация 5

Оптимальное решение найдено

E = 235

Сверху: псевдостоимость слева, тариф справа. Снизу: перевозка слева, оценка справа. Зеленый — базис, линия — исключение из поиска минимального тарифа.
Поставщик	Магазин 1j = 1	Магазин 2j = 2	Магазин 3j = 3	Магазин 4j = 4	A_i	U_i
Склад 1i = 1	420	495	220	572	40	U₁ = 0
Склад 2i = 2	066	05	-235	115	20	U₂ = -4
Склад 3i = 3	451	420	210	561	30	U₃ = 0
Склад 4 (фикт.)i = 4	-101	-101	-303	010	10	U₄ = -5
B_j	20	25	30	25
V_j	V₁ = 4	V₂ = 4	V₃ = 2	V₄ = 5

План перевозок оптимален: для всех свободных клеток оценки неотрицательны (

D_{ij} \ge 0

), косвенные тарифы не превышают прямой тариф, поэтому любое перераспределение только увеличит затраты. Оптимальный маршрут перевозок: • Склад 1 → Магазин 1: 20 ед. × 4 = 80 ден. ед. • Склад 1 → Магазин 3: 20 ед. × 2 = 40 ден. ед. • Склад 2 → Магазин 2: 5 ед. × 0 = 0 ден. ед. • Склад 2 → Магазин 4: 15 ед. × 1 = 15 ден. ед. • Склад 3 → Магазин 2: 20 ед. × 4 = 80 ден. ед. • Склад 3 → Магазин 3: 10 ед. × 2 = 20 ден. ед. • Склад 4 (фикт.) → Магазин 4: 10 ед. × 0 = 0 ден. ед. **Перевод на язык реальности (распределение дефицита):** • Поставка виртуального товара (Склад 4 (фикт.) → Магазин 4 = 10 ед.) означает, что именно **Магазин 4 понесет убытки от дефицита**: из заказанных 25 ед. он фактически получит только 15 ед. (15 ед. со склада «Склад 2»). Оставшиеся 10 ед. — официальная недопоставка. Остальные магазины укомплектованы полностью на 100%. Минимальные затраты составляют

E^* = 235

ден. ед. Эта сумма меньше первоначальной не из-за удешевления маршрутов, а просто потому, что физически перевезено меньше коробок (90 ед. вместо 100 ед.). Итоговые минимальные затраты:

E^* = 235

ден. ед.

Расчет потенциалов и оценок по клеткам

Принимаем U1 = 0. В базисе Ui + Vj = Cij:

0 + V_{1} = 4 \implies V_{1} = 4

0 + V_{3} = 2 \implies V_{3} = 2

U_{3} + 2 = 2 \implies U_{3} = 0

0 + V_{2} = 4 \implies V_{2} = 4

U_{2} + 4 = 0 \implies U_{2} = -4

(-4) + V_{4} = 1 \implies V_{4} = 5

U_{4} + 5 = 0 \implies U_{4} = -5

Для каждой свободной клетки:

D_{1,2} = 9 - (0 + 4) = 5

D_{1,4} = 7 - (0 + 5) = 2

D_{2,1} = 6 - ((-4) + 4) = 6

D_{2,3} = 3 - ((-4) + 2) = 5

D_{3,1} = 5 - (0 + 4) = 1

D_{3,4} = 6 - (0 + 5) = 1

D_{4,1} = 0 - ((-5) + 4) = 1

D_{4,2} = 0 - ((-5) + 4) = 1

D_{4,3} = 0 - ((-5) + 2) = 3

E^* = \min \sum_{i=1}^{M} \sum_{j=1}^{N} C_{ij} X_{ij} = 235

В оптимальном плане $X_{44}$ = 10 — это недопоставка магазину 4. Он получает 15 вместо 25 тыс. единиц. Затраты 235 ниже исходных 245 из-за уменьшения реальных перевозок; это не улучшение снабжения.

4. Независимая проверка и Excel

18 октября 2026 года исходная и измененная задачи независимо решены SciPy/HiGHS с ограничениями равенства строк и столбцов и неотрицательностью. Минимумы совпали: 245 и 235. Проверка относится к этим условиям варианта 3.

В книге проверены формулы стоимости, потенциалов, оценок, сдвигов и баланса. Надстройка Excel «Поиск решения» при этой проверке не запускалась.

Как самостоятельно проверить в «Поиске решения»

Откройте блок «Проверка решения» в книге. Цель — ячейка E последнего плана ( $C_{179}$ для исходного, $C_{441}$ для измененного). Выберите минимум. Изменяемые ячейки — только X в нижней левой четверти клеток последней таблицы. Ограничения: суммы по каждой строке равны $A_{i}$ , суммы по каждому столбцу равны $B_{j}$ , все X ≥ 0. Метод — «Симплекс LP». Сравните целевое значение; при альтернативном оптимуме сами перевозки могут отличаться.

Планы книги фиксируют последовательность выбранных базисов. Изменение входа пересчитывает формулы, но не запускает оптимизацию заново: для новых условий используйте решатель.

Скачать проверенную расчетную книгу (.xlsx) ↓

5. Общий случай и подготовка к защите

Основа: пособие Смородинского С.С. и Батина Н.В., разделы 5.1–5.6, с. 56–78. В листе задания используется другая нумерация разделов (4.1–4.5). Точные два вопроса преподавательницы пока не подтверждены аудиозаписью в NotebookLM. Ниже — учебный разбор по пособию.

В числовых примерах ниже используем масштаб таблицы: тысячи единиц товара. Если преподаватель говорит буквально о 10 штуках, это q = 0,01 в нашей таблице. Сначала уточняем единицы измерения.

Что делать, если на одном складе не хватает товара?

Уточнить новый запас этого склада и сравнить общие суммы. Если суммарный запас меньше суммарного спроса, добавить фиктивного поставщика с запасом, равным дефициту, и Cфик,j = 0. Его поставка показывает, сколько соответствующий магазин недополучит. В нашем измененном варианте $A_{2}$ = 20, дефицит 10, $X_{44}$ = 10.

Недостаток на отдельном складе не всегда означает общий дефицит: его могут покрыть другие склады. Определяет тип модели именно сумма запасов.

Как распределить недопоставку между всеми магазинами по методичке?

В примере 5.4 все потребности умножаются на k = ΣA / ΣB. Фиктивный поставщик не нужен. Это одинаковая доля удовлетворенного спроса для каждого магазина.

B_j^{\prime}=B_j\frac{\sum_i A_i}{\sum_j B_j}

Для A = [40,20,30] получаем k = 0,9; B′ = [18; 22,5; 27; 22,5]. Недопоставка равна [2; 2,5; 3; 2,5], то есть по 10% каждому. Дробные объемы сохраняют баланс. Если товар неделим, округление надо согласовать так, чтобы сумма новых потребностей точно равнялась запасам.

А если каждый магазин должен недополучить ровно 10 единиц?

Это другое дополнительное условие. Уменьшаем каждый спрос на q = 10: B′j = $B_{j}$ − q ≥ 0. При полном использовании запасов должно выполняться ΣB − ΣA = Nq.

В нашей задаче четыре магазина и дефицит всего 10: одинаковая недопоставка равна 10/4 = 2,5 каждому. По 10 каждому требует дефицита 40. Иначе условие несовместимо с полным вывозом товара со складов. Если оставлять часть товара разрешено, после уменьшения спроса останется избыток: его моделируют фиктивным потребителем.

Склады отправляют товар, магазины получают. Поэтому «склад недополучил» нужно уточнить: речь о потребителе или о невывезенном остатке у поставщика.

Как оставить по 10 единиц на каждом складе?

При буквальном требовании одинакового остатка используем A′i = $A_{i}$ − 10 ≥ 0. Для полного снабжения всех магазинов требуется ΣA − ΣB = 10M. Это задача об избытке, а не о дефиците.

Пример 5.5 пособия распределяет излишек в одинаковой доле: A′i = $A_{i}$ · ΣB/ΣA. Количество оставшегося товара на разных складах при этом обычно различается. Излишек без дополнительных требований описывает фиктивный потребитель с нулевыми тарифами.

Как гарантировать полное снабжение конкретного магазина?

В примере 5.3 тариф от фиктивного поставщика к защищаемому магазину заменяется большим штрафом M, остальные фиктивные тарифы остаются нулевыми. После решения обязательно проверить, что фиктивная поставка защищенному магазину равна нулю. Число 1000 в пособии — пример для его масштаба тарифов, а не универсальная гарантия для любой матрицы.

При жестком запрете недопоставки ограничение Xфик,j = 0 нужно соблюдать явно. Большой штраф выражает предпочтение, а невозможные ограничения не превращает в выполнимые.

Почему базисных клеток ровно M + N − 1? Что значит нулевая перевозка?

Одно из M+N балансовых уравнений избыточно: общий вывоз равен общей доставке. Базис содержит M+N−1 независимых клеток. Как двудольный граф строк и столбцов он представляет связное дерево без циклов.

При одновременном исчерпании запаса и спроса исключают только строку или только столбец. Возникает базисная перевозка 0. Нельзя считать все нули свободными: нулевая базисная клетка участвует в уравнениях потенциалов и построении цикла. Дополнительные нули вводят без замыкания цикла.

Что означают потенциалы, псевдостоимость и отрицательная оценка?

Для каждой базисной клетки $U_{i}$ + $V_{j}$ = $C_{ij}$ . Один потенциал выбирается произвольно (здесь $U_{1}$ = 0), остальные определяются по базису. Потенциалы могут быть отрицательными.

\bar C_{ij}=U_i+V_j, \qquad D_{ij}=C_{ij}-(U_i+V_j)

Если все оценки свободных клеток неотрицательны, план оптимален. Отрицательная оценка означает возможность улучшить план вводом этой клетки в базис. Выбираем наиболее отрицательную; при совпадении — первую по индексам. Величина − $D_{ij}$ показывает снижение стоимости на единицу сдвига по соответствующему циклу.

Как строить цикл, выбрать θ и пересчитать стоимость?

Начать в выбранной свободной клетке со знаком плюс. Переходить по строкам и столбцам через базисные клетки, чередуя знаки, и замкнуть маршрут. В дереве базиса добавление одного ребра создает единственный цикл.

\theta=\min_{(i,j)\in L^-}X_{ij}, \qquad E_{new}=E_{old}+\theta D_{in}

Плюсовые перевозки увеличиваем на θ, минусовые уменьшаем. Из достигших нуля минусовых клеток исключаем ровно одну. Строковые и столбцовые суммы сохраняются. Затем потенциалы и оценки рассчитываются заново.

Почему при θ = 0 стоимость не уменьшается? Когда оптимум не единственный?

θ = 0 появляется, если среди минусовых вершин есть базисный ноль. Сдвиг меняет базис, сохраняя план и стоимость. Это показано во второй итерации измененной задачи.

Свободная клетка с D = 0 допускает ввод без изменения стоимости. Если по ее циклу возможен положительный сдвиг $\theta$ , получается другой оптимальный план. При $\theta = 0$ меняется лишь базис; одного нулевого шага недостаточно, чтобы показать другой план перевозок.

Почему Excel и сайт могут показывать разные промежуточные планы?

Равные тарифы, равные отрицательные оценки и несколько кандидатов на выход допускают выбор. Если все правила метода соблюдены, конечная минимальная стоимость одинакова, хотя число итераций и конкретный оптимальный план могут различаться. Образец Максима решает вариант 4; перенос его чисел в наш вариант 3 был бы ошибкой.

Оценки относятся к конкретному базису: нельзя переносить старые $U_{i}$ и $V_{j}$ на план после сдвига. В старой нашей книге промежуточная подпись повторяла предыдущие потенциалы; в новом разборе при E=255 используются U=[0,−3,1], V=[4,3,2,4].